Question

(2014·廣州模擬)已知☉M：x²+(y-2)²=1,Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn),QA,QB分別切☉M于A,B兩點(diǎn).
(1)如果|AB|=,求直線MQ的方程.
(2)求證：直線AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

Answer 1

（1）2x+y-2=0或2x-y+2=0
（2）見(jiàn)解析

(1)如圖所示,連AM,BM,

設(shè)P是AB的中點(diǎn),由|AB|=,
可得|MP|
=
==.
由射影定理,得|MB|²=|MP|·|MQ|,得|MQ|=3,
在Rt△MOQ中,|OQ|===,
故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0)或(-,0),所以直線MQ的方程是：
2x+y-2=0或2x-y+2=0.
(2)設(shè)Q(a,0),由題意知M,A,Q,B四點(diǎn)共圓,直徑為MQ.
設(shè)R(x,y)是該圓上任一點(diǎn),由·=0得x(x-a)+(y-2)y=0.
即x²+y²-ax-2y=0.①
①式與x²+(y-2)²=1聯(lián)立,消去x²,y²項(xiàng)得兩圓公共弦AB所在的直線方程為-ax+2y=3.
所以無(wú)論a取何值,直線AB恒過(guò)點(diǎn),故直線AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).