Question

二次方程ax²-bx+c=0，其中a、b、c是一鈍角三角形的三邊，且以b為最長．
①證明方程有兩個不等實根；
②證明兩個實根α，β都是正數；
③若a=c，試求|α-β|的變化范圍．

Answer 1

解：①在鈍角△ABC中，b邊最長．∴
=2（a²+c²-2accosB）-4ac=2（a-c）²-4accosB＞0．（其中2（a-c）²≥0且-4accosB＞0
∴方程有兩個不相等的實根．
②，∴兩實根α、β都是正數．
③a=c時，，∴
=，∵，∴．
分析：（1）證明方程有兩個不等實根，即只要驗證△＞0即可．（2）要證α，β為正數，只要證明αβ＞0，α+β＞0即可．
（3）根據二次方程根與系數的關系，將|α-β|轉化為某變量的函數，再求它的變化范圍．
點評：本題是以一元二次方程作為，考查解三角形的有關定理，余弦定理作為研究三角形邊角關系的一大工具，應用廣泛．通過余弦定理溝通了三角函數與三角形有關性質，在研究較復雜的三角形問題時，常需正、余弦定理聯袂出場、密切協作，方能解決問題．