Question

某港口的水深y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，下表是該港口某一天從0：00時至24：00時記錄的時間t與水深y的關系：

t （h）	0：00	3：00	6：00	9：00	12：00	15：00
y （m）	9.9	12.9	10.0	7.1	10.0	13.0

（Ⅰ）經(jīng)長時間的觀察，水深y與t的關系可以用正弦型函數(shù)擬合，求出擬合函數(shù)的表達式；
（Ⅱ）如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，船舶安全航行時船底與海底的距離不少于4.5m．那么該船在什么時間段能夠進港？若該船欲當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間（忽略離港所需時間）；
（Ⅲ）若某船吃水深度為8m，安全間隙（船底與海底的距離）為2.5．該船在3：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.5m的速度減少，該船在什么時間必須停止卸貨，駛向較安全的水域？

Answer 1

考點：在實際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：應用題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)，

A+h=13 -A+h=7

，可得A=3，h=10，由T=15-3=12，可求ω=

π

6

將點（3，13）代入可得ϕ=0，從而可求函數(shù)的表達式；
（Ⅱ）由題意，水深y≥4.5+7，即3sin

π

6

t+10≥11.5，從而可求t∈[1，5]或t∈[13，17]；
（Ⅲ）設在時刻x船舶安全水深為y，則y=10.5-0.5（x-3）（x≥3），若使船舶安全，則10.5-0.5（x-3）≥3sin

π

6

x+10，從而可得3≤x≤7，即該船在7：00必須停止卸貨，駛向較安全的水域．

解答： 解：（1Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)，

A+h=13 -A+h=7

，
∴A=3，h=10，
T=15-3=12，
∴ω=

π

6

，
∴y=3sin（

π

6

x+ϕ）+10
將點（3，13）代入可得ϕ=0
∴函數(shù)的表達式為y=3sin

π

6

t+10（0≤t≤24）
（Ⅱ）由題意，水深y≥4.5+7，
即3sin

π

6

t+10≥11.5，
∴sin

π

6

t≥0.5，
∴t∈[1，5]或t∈[13，17]；
所以，該船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全進港．
若欲于當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過16小時．
（Ⅲ）設在時刻x船舶安全水深為y，則y=10.5-0.5（x-3）（x≥3），
這時水深y=3sin

π

6

x+10，
若使船舶安全，則10.5-0.5（x-3）≥3sin

π

6

x+10，
∴3≤x≤7，
即該船在7：00必須停止卸貨，駛向較安全的水域．

點評：本題以表格數(shù)據(jù)為載體，考查三角函數(shù)模型的構建，考查解三角不等式，同時考查學生分析解決問題的能力．