數列
的前
項和為
，若
，點
在直線
上．
⑴求證：數列
是等差數列；
⑵若數列
滿足
，求數列的前項和
；
⑶設
，求證：
．
（1）證明過程詳見解析；（2）
；（3）證明過程詳見解析.
解析試題分析：本題考查等比數列、等差數列、不等式等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力.第一問，由于點在直線上，所以將點代入得到
與
的關系式，兩邊同除以
，湊出新的等差數列，并求出首項個公差；第二問，先利用第一問的結論求出
的通項公式，得到的表達式，由求
，將得到的結論代入到
中，用錯位相減法求，在解題過程中用到了等比數列的前n項公式；第三問，先將第二問的結論代入，利用分組求和的方法先求出
，當
時，具體比較結果與
的大小，當
時，得到的數都比
的結果大，所以都大于，所以不等式成立.
試題解析：（1）∵點
在直線
（
）上，
∴
，
兩邊同除以，得
，
，
于是，是以3為首項，1為公差的等差數列.
（2）∵
，∴
，
∴當
時，
，
當
時，
，
∴
∴
，
∴
∴
∴
∴
.
（3）∵
，
∴
當時，
，
當時，
，
當時，
，
所以.
考點：1.配湊法求通項公式；2.等差數列的通項公式；3.錯位相減法；4.等比數列的前n項和公式；5.分組求和.
津橋教育計算小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某產品具有一定的時效性，在這個時效期內，由市場調查可知，在不做廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件；若做廣告宣傳，廣告費為n千元比廣告費為
千元時多賣出
件。
（1）試寫出銷售量
與n的函數關系式；
（2）當
時，廠家應該生產多少件產品，做幾千元的廣告，才能獲利最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
各項均為正數的數列{
}中，a1＝1，
是數列{}的前n項和，對任意n∈N﹡，有2＝2p
＋p－p（p∈R）．
（1）求常數p的值；
（2）求數列{}的前n項和．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
為公差不為
的等差數列，
為前
項和，
和
的等差中項為
，且
．令
數列
的前項和為
．
（1）求
及；
（2）是否存在正整數
成等比數列？若存在，求出所有的
的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
甲、乙兩人用農藥治蟲，由于計算錯誤，在A、B兩個噴霧器中分別配制
成12%和6%的藥水各10千克，實際要求兩個噴霧器中的農藥的濃度是一樣的，現在只有兩個容量為1千
克的藥瓶，他們從A、B兩個噴霧器中分別取1千克的藥水，將A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A
中，這樣操作進行了n次后，A噴霧器中藥水的濃度為
，B噴霧器中藥水的濃度為
．
（1）證明：
是一個常數；
（2）求
與
的關系式；
（3）求的表達式．
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，其前n項和
滿足
；等差數列
中
，且
是
與
的等比中項
和
，
，求
的前n項和
.
的各項均為正數，其前n項的和為
，對于任意正整數m,n, 
恒成立. 
=1,求
及數列
,求證:數列
的前
項和
，求證：
滿足
，
，
，且
是等比數列。
的值；
；
…