Question

如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）記三棱錐P-ABD體積為V₁，四棱錐P-BDEF體積為V₂．求當PB取得最小值時的V₁：V₂值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO．
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面QBFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，所以BD⊥平面POA．
（Ⅱ）連接OB，設AO∩BD=H．
由（Ⅰ）知，AC⊥BD．
∵∠DAB=60°，BC=4，
∴BH=2，CH=2

3

．
設OH=x（0＜x＜2

3

）．
由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，故△POB為直角三角形．
∴PB²=OB²+PO²=（BH²+OH²）+PO²，
∴PB²=2（x-

3

）²+10．
當x=

3

時，PB取得最小值，此時O為CH中點．
∴S_△CEF=

1

4

S△BCD，
∴S_梯形BDEF=

3

4

S△BCD=

3

4

S△ABD，
∴

V1

V2

=

S△ABD

S梯形BDEF

=

4

3

∴當PB取得最小值時，V₁：V₂的值為4：3．