Question

【題目】如圖，由直三棱柱和四棱錐構成的幾何體中，，平面平面

（I）求證：；

（II）若M為中點，求證：平面；

（III）在線段BC上（含端點）是否存在點P，使直線DP與平面所成的角為？若存在，求得值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)不存在這樣的點P.

【解析】分析：（I）由，根據面面垂直的性質得到平面，從而可證明；（II）由于，建立空間直角坐標系，利用的方向向量與平面 的法向量數量積為零可得平面 ；（III）由（II）可知平面的法向量，設，利用空間向量夾角余弦公式列方程可求得，從而可得結論.

詳解：證明：（I）在直三棱柱中，

∵平面 ∴

∵平面平面，且平面平面

∴平面

∴

（II）在直三棱柱中，

∵平面，∴

又，

建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知可得，

，，，，

設平面的法向量

∵ ∴ 令 則

∵為的中點，∴

∵ ∴

又平面，∴平面

（III）由（II）可知平面的法向量

設

則

若直線DP與平面所成的角為，

則

解得

故不存在這樣的點P，使得直線DP與平面所成的角為