Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，射線交曲線于點(diǎn)，傾斜角為的直線過線段的中點(diǎn)且與曲線交于、兩點(diǎn)．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線的參數(shù)方程；

（2）當(dāng)直線傾斜角為何值時，取最小值，并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為；直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）

【解析】

（1）利用，，可將曲線的極坐標(biāo)系方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系方程，然后求出點(diǎn)A的極坐標(biāo)并轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合傾斜角為，直接寫出直線的參數(shù)方程；（2）將直線的參數(shù)方程直接代入曲線方程，得到韋達(dá)定理，設(shè)、對應(yīng)的參數(shù)值分別是、，則有，然后可求出最小值.

（1）因?yàn)?/span>，，

所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，即．

射線交曲線于點(diǎn)，故點(diǎn)的極坐標(biāo)為，

點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，的中點(diǎn)．

所以傾斜角為且過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（2）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入曲線方程中，

并整理得：．

設(shè)、對應(yīng)的參數(shù)值分別是、，則有：

故．

當(dāng)，即時，取最小值，最小值為．