Question

【題目】已知函數f（x）＝ax+lnx（a∈R），g（x）＝x2emx（m∈R，e為自然對數的底數）．

（1）討論函數f（x）的單調性及最值；

（2）若a＞0，且對x1，x2∈[0，2]，f（x1+1）≥g（x2）+a﹣1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（﹣∞，﹣ln2]

【解析】

（1）．對分類討論，利用導數研究函數的單調性極值與最值，即可得出；（2）原命題等價于，且對，，恒成立．由（1）可知：當時，函數在單調遞增，故在，上單調遞增，可得（1）．對，，恒成立對，，恒成立．對分類討論：利用導數研究函數的單調性極值與最值，即可得出．

（1）＝a+（x∈（0，+∞））．

當a≥0時，≥0，

∴f（x）在x∈（0，+∞）單調遞增，無最值．

當a＜0時，（x∈（0，+∞））．

可得函數f（x）在（0，）上單調遞增，在（，+∞）上單調遞減．

當x＝時，函數f（x）取得極小值即最小值，且最大值為f（）＝﹣1﹣ln（﹣a），無最大值．

（2）a＞0，且對x1，x2∈[0，2]，f（x1+1）≥g（x2）+a﹣1恒成立，等價于a＞0，且對x∈[0，2]，f（x+1）min≥g（x）max+a﹣1恒成立．

由（1）可知：當a＞0時，函數f（x）在x∈（0，+∞）單調遞增，故y＝f（x+1）在x∈[0，2]上單調遞增，

∵x∈[0，2]，∴（x+1）∈[1，3]，故f（x+1）min＝f（1）＝a．

∴對x∈[0，2]，f（x+1）min≥g（x）max+a﹣1恒成立對x∈[0，2]，g（x）max≤1恒成立．

對m分類討論：m＝0時，g（x）＝x2，x＝0，函數g（x）取得最大值，g（2）＝4，不滿足g（x）max≤1．

當m≠0時，＝2xemx+mx2emx＝xemx（mx+2）．令＝0，解得x＝0，x＝﹣．

①當﹣≥2，即﹣1≤m＜0時，對x∈[0，2]，≥0，因此g（x）在此區間上單調遞增．∴g（x）max＝g（2）＝4e2m．

由4e2m≤1，解得m≤﹣ln2．∴﹣1≤m≤﹣ln2．

②當2＞﹣＞0，即m＜﹣1時，可得函數g（x）在x∈[0，﹣）上單調遞增，在（﹣，2]上單調遞減．

∴g（x）max＝g（﹣）＝e﹣2．由e﹣2≤1，解得m≤﹣．∴m＜﹣1．

③當﹣≤0，即m＞0時，對x∈[0，2]，≥0，因此g（x）在此區間上單調遞增．∴g（x）max＝g（2）＝4e2m．

此時4e2m≤1，不成立，舍去．

綜上可得：實數m的取值范圍是（﹣∞，﹣ln2]．