Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=0，an+1=an+2 +1
（1）求證數列{ }是等差數列，并求出an的通項公式；
（2）若bn= ，求數列{b}的前n項的和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由an+1=an+2 +1= ﹣1，

∴ ﹣ =1，

故數列{ }是等差數列，首項為1，公差為1的等差數列．

∴ =1+（n﹣1） =n，

∴an=n2﹣1

（2）解：bn= =（n+1）2n，

∴數列{b}的前n項的和Tn=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）2n，

2Tn=2×22+3×23+…+n2n+（n+1）2n+1，

∴﹣Tn=4+22+23+…+2n﹣（n+1）2n+1=2+ ﹣（n+1）2n+1，

可得Tn=n2n+1

【解析】（1）變形利用等差數列的定義與通項公式即可得出．（2）利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．