【題目】已知函數
．
（1）討論
的單調性；
（2）若有兩個不同的零點，求
的取值范圍．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
（1）求出函數的定義域以及導函數，根據導數與函數單調性的關系，分類討論
，
，
，
，可求得
的單調性
（2）由（1）求得在，，，時，函數的單調區間，討論出零點的個數，從而求得實數
的取值范圍。
解析：（1）
①，
，
，
，單調遞增；
，
，單調遞減
②，
或
，當
，，單調遞減；
，，單調遞增；
，，單調遞減
③，
，在
單調遞減
④，或，當
，，單調遞減；
，，單調遞增；
，，單調遞減
（2）由（1）得當
時，
在定義域上只有一個零點
，由（1）可得，要使有兩個零點，則
∴
下證有兩個零點
取
，
，滿足
，故在
有且只有一個零點
，滿足
，故在
有且只有一個零點
當時，由（1）可得，
，故在無零點，
又因為在單調遞減，
∴在至多一個零點，不滿足條件
當時，
，
故在
上無零點，
又因為在
單調遞減，∴在至多一個零點，不滿足條件
∴滿足條件的取值范圍
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知甲、乙兩名工人在同樣條件下每天各生產100件產品，且每生產1件正品可獲利20元，生產1件次品損失30元，甲，乙兩名工人100天中出現次品件數的情況如表所示.
甲每天生產的次品數/件 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
對應的天數/天 | 40 | 20 | 20 | 10 | 10 |
乙每天生產的次品數/件 | 0 | 1 | 2 | 3 |
對應的天數/天 | 30 | 25 | 25 | 20 |
（1）將甲每天生產的次品數記為
（單位：件），日利潤記為
（單位：元），寫出與的函數關系式；
（2）如果將統計的100天中產生次品量的頻率作為概率，記
表示甲、乙兩名工人1天中各自日利潤不少于1950元的人數之和，求隨機變量的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，
、
是兩個垃圾中轉站，在的正東方向
千米處，
的南面為居民生活區．為了妥善處理生活垃圾，政府決定在的北面建一個垃圾發電廠
．垃圾發電廠的選址擬滿足以下兩個要求（、、可看成三個點）：①垃圾發電廠到兩個垃圾中轉站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數相同；②垃圾發電廠應盡量遠離居民區（這里參考的指標是點到直線的距離要盡可能大）．現估測得、兩個中轉站每天集中的生活垃圾量分別約為
噸和
噸．設
．
（1）求
（用
的表達式表示）；
（2）垃圾發電廠該如何選址才能同時滿足上述要求？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某次考試后，對全班同學的數學成績進行整理，得到表：
分數段 |
|
|
|
|
人數 | 5 | 15 | 20 | 10 |
將以上數據繪制成頻率分布直方圖后，可估計出本次考試成績的中位數是__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩個焦點為
、
，
是
與
的等差中項，其中
、
、
都是正數，過點
和
的直線與原點的距離為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）點
是橢圓上一動點，定點
，求△
面積的最大值；
（3）已知定點
，直線
與橢圓交于
、
相異兩點.證明：對任意的
，都存在實數
，使得以線段
為直徑的圓過
點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
（1）若函數
在點
處的切線平行于直線
，求切點
的坐標及此切線方程；
（2）求證：當
時，
；（其中
）
（3）確定非負實數
的取值范圍，使得
，
成立．
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