Question

【題目】已知函數．

（1）若函數在點處的切線平行于直線，求切點的坐標及此切線方程；

（2）求證：當時，；（其中）

（3）確定非負實數的取值范圍，使得，成立．

Answer 1

【答案】（1）點，切線方程為；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據函數在某點導數的幾何意義，可得切線的斜率以及點，然后可得結果.

（2）構建新的函數，通過導數判斷新函數的單調性，并計算新函數的最值，可得結果.

（3）構建函數，采用分類討論與，并利用導數判斷函數的單調性，可得結果.

（1）由，則

由題可知：

所以切線方程為，點

（2）當時，

則在恒成立

即在恒成立

令

所以

令或（舍）

當時，

當時，

所以可知在遞增，在遞減

且，

所以在中，

故可知

所以當時，

（3）由，成立

則在恒成立

令

則

當時，，

則在單調遞增，所以

所以，成立

當時，

令，則或（舍）

若時，

當時，

所以在遞減，在遞增，

又，所以，

所以，不成立

綜上所述：