Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點為、，是與的等差中項，其中、、都是正數，過點和的直線與原點的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）點是橢圓上一動點，定點，求△面積的最大值；

（3）已知定點，直線與橢圓交于、相異兩點.證明：對任意的，都存在實數，使得以線段為直徑的圓過點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）由是與的等差中項得到，設出直線的方程，利用點到直線的距離公式，列出方程，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）當橢圓上的點到直線距離最大時，△面積取得最大值，設出平行直線，即可得到結論；

（3）將直線的方程代入橢圓的方程，利用韋達定理及向量知識，結合判別式，即可得到結論.

（1）由是與的等差中項，可得

過點和的直線方程為，即，

又由該直線與原點的距離為，由點到直線的距離公式得

解得，所以橢圓方程為.

（2）由（1）得，直線的方程為，且，

當橢圓上的點到直線距離最大時，△面積取得最大值

設與直線平行的直線方程為，

將其代入橢圓方程，得，

由，解得，

當時，橢圓上的點到直線距離最大為，

此時△面積為.

（3）將代入橢圓方程，得，

由直線與橢圓有兩個交點，所以，解得

設、，則，，

因為以為直徑的圓過點，所以，即，

而，

所以，解得，

如果對任意的都成立，則存在，使得以線段為直徑的圓過點，

又因為，即，

所以對任意的，都存在使得以線段為直徑的圓過點.