Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=2^x+1
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關于x的不等式f（x）≤

1

2

．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）首先，當x=0時，f（0）=0，然后，設x＜0，則-x＞0，然后，借助于函數為奇函數，進行求解即可．
（2）根據（1）中函數的解析式，分當x＞0時，當x=0時和當x＜0時三種情況，討論不等式f（x）≤

1

2

成立的x的取值范圍，最后綜合討論結果，可得答案．

解答： 解：因為f（x）是定義在R上的奇函數，
所以，當x=0時，f（0）=0，
設x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=2^-x+1，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-2^-x+1，
∴f(x)=

-2-x+1，(x＜0) 0，(x=0) 2x+1，(x＞0)

，
（2）當x＞0時，2^x+1＞2恒成立，不滿足不等式f（x）≤

1

2

．
當x=0時，f（x）=0，滿足不等式f（x）≤

1

2

．
當x＜0時，-2^-x+1＜-2恒成立，滿足不等式f（x）≤

1

2

．
綜上所述，不等式f（x）≤

1

2

的解集為：（-∞，0]

點評：本題重點考查了函數的奇偶性與函數的解析式相結合知識點，涉及到指數的運算性質，屬于中檔題，難度中等．