Question

(本小題滿分12分）
已知函數f(x)=e^x+ax-1(e為自然對數的底數).
（Ⅰ）當a=1時,求過點（1,f(1))處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；
(II)若f(x)x²在(0,1 )上恒成立,求實數a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；(II)．

試題分析：（Ⅰ）利用導數先求過點（1,f(1))處的切線的方程，再求切線與坐標軸的交點坐標，易得三角型面積；(II)由得，令，利用導數求函數在上的單調性，便可得結論．
試題解析：（Ⅰ）當時，，，，，
函數在點處的切線方程為，即，        2分
設切線與x、y軸的交點分別為A，B．
令得，令得，∴，，．
在點處的切線與坐標軸圍成的圖形的面積為．        4分
（Ⅱ）由得，
令，
令，        6分
，∵，∴，在為減函數，
∴  ，       8分
又∵，∴∴在為增函數，      10分
，因此只需．              12分