Question

已知拋物線C：x²=4y的焦點為F，過點F作直線l交拋物線C于A、B兩點；橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，點F是它的一個頂點，且其離心率e=

3

2

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）經過A、B兩點分別作拋物線C的切線l₁、l₂，切線l₁與l₂相交于點M．證明：AB⊥MF；
（3）橢圓E上是否存在一點M′，經過點M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B（A′、B′為切點），使得直線A′B′過點F？若存在，求出拋物線C與切線M′A′、M′B所圍成圖形的面積；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點拋物線焦點F是橢圓的一個頂點可得b=1，由橢圓離心率e=

3

2

得

c

a

=

3

2

，橢圓方程可求．
（2）要證明AB⊥MF，只需證

MF

•

MF

=0即可．設直線l的方程為y=kx+，1與雙曲線方程聯立，消去y，得到關于A，B點橫坐標的一元二次方程，求兩根的和與積，再用導數求過A，B點的切線方程，求出切點坐標，計算

AB

•

MF

即可．
（3）先假設橢圓E上存在點M′，經過點M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B（A′、B′為切點），直線A′B′過點F．
再根據假設與已知條件去求M′坐標，如果存在，用所求結果求拋物線C與切線M′A′、M′B所圍成圖形的面積．

解答：解：（1）設橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，半焦距為c．
由已知條件，F（0，1），∴b=1，

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，
解得a=2，b=1．所以橢E的方程為

x2

4

+ y2=1．
（2）顯然直線l的斜率存在，否則直線l與拋物線C只有一個交點，不合題意，
故可設直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）
與拋物線方程聯立，消去y，并整理得，x²-4kx-4=0
∴x₁x₂=-4．
∵拋物線的方程為y=

1

4

x²，求導得y′=

1

2

x，
∴過拋物線上A，B兩點的切線方程分別是
y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），y-y₂=

1

2

x₂（x-x2）
即y=

1

2

x₁x-

1

4

x12，y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²
解得兩條切線的交點M的坐標為（

x1+x2

2

，-1）
∴

AB

•

MF

=0
∴AB⊥MF．
（3）假設存在點M′滿足題意，由（2）知點M′必在直線y=-1上，又直線y=-1與橢圓有唯一交點，故M′的坐標為（0．-1），
設過點M′且與拋物線C相切的切線方程為y-y₀=

1

2

x₀（x-x₀）：，其中點（x₀，y₀）為切點．
令x=0，y=-1得，-1-

1

4

x₀²=

1

2

x₀（0-x₀），解得x₀=2或x₀=-2，
故不妨取A′（-2，1）B′（2，1），即直線A′B′過點F．
綜上所述，橢圓E上存在一點M′（0，-1），經過點M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B′
（A′、B′為切點），能使直線A′B′過點F．
此時，兩切線的方程分別為y=-x-1和y=x-1．
拋物線C與切線M′A′、M′B′所圍成圖形的面積為
S=2

∫

2 0

[

1

4

x2 -(x-1)]dx=2(

1

12

x3-

1

2

x2+x)

|

2 0

=

4

3

．

點評：本題考查了拋物線，橢圓與直線導數等的綜合應用，屬于較難題型，做題適應認真分析，找到他們的聯系點．