Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，討論函數(shù)與圖象的交點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）1個.

【解析】

（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點個數(shù)問題，通過求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出的極小值，從而求出函數(shù)的零點個數(shù)即和的交點個數(shù).

（1）函數(shù)的定義域為，，

當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無單調(diào)減區(qū)間；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無單調(diào)減區(qū)間；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.

（2）令 ，，問題等價于求函數(shù)的零點個數(shù)，

當(dāng)時，，，有唯一零點；

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)，注意到，，所以有唯一零點；

當(dāng)時，由得或，由得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，注意到，

，

所以有唯一零點；

當(dāng)時，由得，或，

由得，

所以函數(shù)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，

所以，

而，所以有唯一零點.

綜上，函數(shù)有唯一零點，即當(dāng)時函數(shù)與圖象總有一個交點.