Question

【題目】如圖，棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（1）求證：BD⊥平面PAC；

（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）建立空間直角坐標系，再利用向量的數量積運算，證明線線垂直，從而證明線面垂直；

（2）建立空間直角坐標系，求平面的法向量，再利用數量積求向量的夾角即可得解.

解：（1）建立如圖所示的直角坐標系，

則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴

∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，

又AP∩AC=A，

故BD⊥平面PAC.

（2）由（1）得.

設平面PCD的法向量為，則，

即，∴，故平面PCD的法向量可取為,

∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.

設二面角P—CD—B的大小為，依題意可得，

故二面角P—CD—B余弦值的大小為.