Question

【題目】（本小題滿分12分）己知函數f（x）=

（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

（2）求證：當x∈（0，1）時，f（x）>2

（3）設實數k使得f（x）>k對x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】（1） （2）詳見解析 （3）2．

【解析】

試題分析：（1）求導：，利用導數幾何意義得切線斜率：，又 ，由點斜式得切線方程： （2）利用導數證明不等式，實質利用導數求對應函數最值：，令 ，只需證 （3）恒成立問題，一般利用變量分離轉化為對應函數最值，這較繁且難，本題由（2）知時在（0，1）上恒成立，只需證明當時，在（0，1）上不恒成立，這樣就簡單多了．

試題解析：（1）

（2），結論成立

（3）由（2）知時在（0，1）上恒成立

當時，令則

當時， ，即當時，在（0，1）上不恒成立

k的最大值為2．