Question

【題目】已知頂點為原點的拋物線，焦點在軸上，直線與拋物線交于、兩點，且線段的中點為．

（1）求拋物線的標準方程．

（2）若直線與拋物線交于異于原點的、兩點，交軸的正半軸于點，且有，直線，且和有且只有一個公共點，請問直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，直線過定點.

【解析】

（1）設拋物線的標準方程為，求出點的坐標，將點的坐標代入拋物線的方程，求出的值，由此可求得拋物線的標準方程；

（2）設點，，，由條件可得出，可求出直線的斜率，由此可設直線的方程為，與拋物線的方程聯立，由可得出，分與兩種情況討論，求出直線的方程，即可得出直線所過定點的坐標.

（1）由題意設拋物線的標準方程為，

因為的中點為，所以的坐標為，

將點的坐標代入拋物線的方程，得，可得，

因此，拋物線的標準方程為；

（2）由（1）知，設，，

因為，則，

由，可得，即，所以，直線的斜率，

因為直線，設直線的方程為，

代入拋物線的方程可得，

因為且和有且只有一個公共點，可得，解得，

設，則，，即，

當時，，

可得直線的方程為，

由時，代入整理，即直線恒過定點；

當，直線的方程為，過點，

綜上，可知直線過定點．