Question

一次數學考試共有10道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個選項是正確的，設計試卷時，安排前n道題使考生都能得出正確答案，安排8-n道題，每題得出正確答案的概率為，安排最后兩道題，每題得出正確答案的概率為，且每題答對與否相互獨立，同時規定：每題選對得5分，不選或選錯得0分。
（1）當n=6時，
①分別求考生10道題全答對的概率和答對8道題的概率；
②問考生答對幾道題的概率最大，并求出最大值；
（2）要使考生所得分數的期望不小于40分，求n的最小值。

Answer 1

解：（1）①當n=6時，10道題全答對，即后四道題全答對的相互獨立事件同時發生，10道題全答對的概率為；
答對8道題的概率為
。
②答對題的個數X的可能值為6，7，8，9，10，其概率分別為：



又
所以答對7道題的概率最大，為。
（2）當n=6時，分布列為：

=37.5
當n=7時，Eξ=40
所以n的最小值為7。