Question

一次數(shù)學(xué)考試共有10道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．設(shè)計(jì)試卷時(shí)，安排前n道題使考生都能得出正確答案，安排8-n道題，每題得出正確答案的概率為

1

2

，安排最后兩道題，每題得出正確答案的概率為

1

4

，且每題答對(duì)與否相互獨(dú)立，同時(shí)規(guī)定：每題選對(duì)得5分，不選或選錯(cuò)得0分．
（1）當(dāng)n=6時(shí)，
①分別求考生10道題全答對(duì)的概率和答對(duì)8道題的概率；
②問：考生答對(duì)幾道題的概率最大，并求出最大值；
（2）要使考生所得分?jǐn)?shù)的期望不小于40分，求n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意當(dāng)n=6時(shí)，①分別求考生10道題全答對(duì)，即后四道題全答對(duì)的相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生，利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可求解．同理可求得答對(duì)8道題的概率，對(duì)于②答對(duì)題的個(gè)數(shù)X的可能值為6，7，8，9，10，利用隨機(jī)變量的定義即可求出每一個(gè)值下對(duì)應(yīng)的概率，
（2）當(dāng)n=6時(shí)，求出其分布列，并利用其分布列求出期望，并求出該考生所得分?jǐn)?shù)的期望不小于40分的值并比較即可．

解答：解：（1）①當(dāng)n=6時(shí)，10道題全答對(duì)，即后四道題全答對(duì)的相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生，
10道題題全答對(duì)的概率為

1

2

×

1

2

×

1

4

×

1

4

=

1

64

，
答對(duì)8道題的概率為

1

2

•

1

2

•

3

4

•

3

4

+

1

2

•

1

2

•

1

4

•

1

4

+4•

1

2

•

1

2

•

1

4

•

3

4

=

22

64

=

11

32

，
②答對(duì)題的個(gè)數(shù)X的可能值為6，7，8，9，10，其概率分別為：
P（X=6）=

1

2

•

1

2

•

3

4

•

3

4

=

9

64

；P（X=7）=2•

1

2

•

1

2

•

3

4

•

3

4

+2•

1

2

•

1

2

•

1

4

•

3

4

=

24

64

=

3

8

；
P（X=8）=

22

64

=

11

32

；又P（X=9）=1-

9

64

-

24

64

-

22

64

-

1

64

=

1

8

；
所以：答對(duì)7道題的概率最大為

3

8

，
（2）當(dāng)n=6時(shí)，分布列為：

分值x	30	35	40	45	50
P	9 64	24 64	22 64	8 64	1 64

得Ex=30×

9

64

+35×

24

64

+40×

22

64

+45×

8

64

+50×

1

64

=

2400

64

=37.5，
同理可算得，當(dāng)n=7時(shí)，Ex=40．所以n的最小值為7．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生準(zhǔn)確理解題意及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，主要考查了相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及離散型隨機(jī)變量的分布列及期望．