Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，離心率等于，它的一個短軸端點恰好是拋物線的焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知、是橢圓上的兩點，是橢圓上位于直線兩側的動點.

①若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值；

②當運動時，滿足，試問直線的斜率是否為定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的斜率為定值。

【解析】試題分析：

（1）由拋物線的焦點坐標可得，再結合離心率可求得，從而可得橢圓的方程．（2）①設直線方程為，，將直線方程與橢圓方程聯立消元后可得，然后由四邊形的特點得，根據函數的知識可得的最大值．②由可得直線的斜率之和為0，設的方程為，與橢圓方程聯立消元后可得，同理，然后根據斜率公式求得直線AB的斜率驗證即可．

試題解析：

（1）由題意得拋物線的焦點為，

∴，

∵，

∴

∴，

∴橢圓的方程為．

（2）①由題意設直線方程為，

由消去y整理得，

∵直線AB與橢圓交于兩點，

∴，解得．

設，

則，

又，

∴，

∴當時，取得最大，

即四邊形面積的最大值為．

②當時，直線的斜率之和為0，

設直線的斜率為，則直線的斜率為，

故直線的方程為，

由消去y整理得

，

∴，

同理．

∴，

∴，

故直線的斜率為定值．