Question

有下列四個命題：
①在△ABC中，p：A＞B，q：sinA＞sinB，則命題p是命題q的充要條件；
②p：數列{a_n}是等差數列，q：數列{a_n}是單調數列，則命題p是命題q的充要條件；
③p：△ABC是銳角△ABC，q：sinA＞cosB，則命題p是命題q的充要條件；
④α≠

π

6

或β≠

π

6

是cos（α+β）≠

1

2

成立的必要不充分條件．
其中正確的命題序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①，利用大角對大邊及正弦定理可判斷①；
②，舉例說明令a_n=0，則數列{a_n}為常數列，是等差數列，但不是單調數列，可判斷②；
③，利用誘導公式，△ABC是銳角△ABC⇒sinA＞cosB，反之，不成立（如A=30°，B=120°）可判斷③；
④，利用等價命題之間的關系，可判斷原命題的等價命題“cos（α+β）=

1

2

是α=

π

6

且β=

π

6

成立的必要不充分條件”的正誤判斷④．

解答： 解：對于①，在△ABC中，p：A＞B，q：sinA＞sinB，
∵A＞B?a＞b，由正弦定理得，a＞b?2RsinA＞2RsinB，故A＞B?sinA＞sinB，故命題p是命題q的充要條件，故①正確；
對于②，令a_n=0，則數列{a_n}為常數列，是等差數列，但不是單調數列，充分性不成立，故②錯誤．
對于③，∵P：△ABC是銳角△ABC，q：sinA＞cosB，
由△ABC是銳角△ABC⇒A∈（0，

π

2

），B∈（0，

π

2

），C=[π-（A+B）]∈（0，

π

2

），
∴

π

2

＜A+B＜π，∴sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即p⇒q，充分性成立；
反之，不成立，如A=30°，B=120°，滿足sinA＞cosB，但△ABC不是銳角三角形，即必要性不成立；
∴命題p是命題q的充分不必要條件，故③錯誤；
對于④，要判斷α≠

π

6

或β≠

π

6

是cos（α+β）≠

1

2

成立的必要不充分條件的正誤，
就是判斷其等價命題“cos（α+β）=

1

2

是α=

π

6

且β=

π

6

成立的必要不充分條件”的正誤．
∵cos（α+β）=

1

2

，不能推出α=

π

6

且β=

π

6

，即充分性不成立；
反之，α=

π

6

且β=

π

6

，則α+β=

π

3

，cos（α+β）=cos

π

3

=

1

2

，必要性成立，
∴原命題的等價命題“cos（α+β）=

1

2

是α=

π

6

且β=

π

6

成立的必要不充分條件”正確，故④正確．
故正確的命題序號是①④，
故答案為：①④．

點評：本題考查充分必要條件的判斷，綜合考查正弦定理、四種命題之間的關系及真假判斷，理解“充分條件”與“必要條件”的概念是推理判斷的關鍵，考查轉化思想．