Question

【題目】如圖，已知， ， ，平面平面， ， ， 為中點.

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）證明：設中點為，連可證∴

進而證明平面.又平面，∴，∴又∴∴∵， 平面， 平面，∴平面.

（Ⅱ）以點為原點，以方向為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立如圖所示坐標系，得到相應點的坐標和向量的坐標，設平面的法向量，可得， ，即可求得直線與平面所成角的余弦值.

試題解析：

（Ⅰ）證明：設中點為，連

∵為中點，∴

又由題意， ∴，且

∴四邊形為平等四邊形，∴

∵ ∴，又∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面.

又平面，∴，∴又∴∴

∵， 平面， 平面，∴平面.

（Ⅱ）以點為原點，以方向為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立如圖所示坐標系， ， ， ， ，設平面的法向量，則∴取，

∴

設直線與平面所成角為，則，∴

即直線與平面所成角的余弦值.