Question

【題目】已知定義域為的函數是奇函數．

（1）求的值；

（2）判斷函數的單調性，并用定義證明；

（3）當時，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) 減函數，證明見解析；(3) ．

【解析】

（1）利用奇函數的性質令，求解即可．

（2）利用函數的單調性的定義證明即可．

（3）利用函數是奇函數以及函數的單調性轉化不等式為代數形式的不等式，求解即可．

（1）∵在定義域上是奇函數，

所以，即，∴，

經檢驗，當時，原函數是奇函數．

（2）在上是減函數，證明如下：

由（1）知，

任取，設，

則，

∵函數在上是增函數，且，

∴，又，

∴，即，

∴函數在上是減函數．

（3）因是奇函數，從而不等式等價于，

由（2）知在上是減函數，由上式推得，

即對任意，有恒成立，

由，

令，，則可設，，

∴，

∴，即的取值范圍為．