Question

（本小題滿分12分）已知函數，.
（1）若恒成立，求實數的值；
（2）若方程有一根為，方程的根為，是否存在實數，使？若存在，求出所有滿足條件的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）不存在滿足條件的實數.

試題分析：本題主要考查導數的計算以及運用導數研究函數的單調性、極值、最值問題，考查學生的函數思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力和計算能力.第一問，注意到函數的定義域中，所以先將原恒成立的不等式進行轉化，設出新函數，只需證出即可，所以轉化為求函數的最小值問題，對求導，討論的正負，判斷函數的單調性和最值；第二問，結合第一問的結論，判斷出當或或時不合題意，當時，先求出的解，假設存在成立，得到的值，代入到中，判斷有沒有可能為0，設出新函數，只需判斷的最小值的正負，對求導，并進行二次求導，判斷函數的單調性，判斷出，所以不合題意，所以不存在滿足條件的實數.
試題解析：⑴解:注意到函數的定義域為,
所以恒成立恒成立,
設,
則,     2分
當時,對恒成立,所以是上的增函數,
注意到,所以時,不合題意.   4分
當時,若,;若,.
所以是上的減函數,是上的增函數,
故只需.      6分
令,
,
當時,; 當時,.
所以是上的增函數,是上的減函數.
故當且僅當時等號成立.
所以當且僅當時,成立,即為所求.      8分
⑵解:由⑴知當或時,,即僅有唯一解,不合題意;
當時, 是上的增函數,對,有，
所以沒有大于的根,不合題意.    8分
當時,由解得,若存在,
則,即,
令,,
令,當時,總有,
所以是上的增函數,即,
故,在上是增函數,
所以,即在無解.
綜上可知,不存在滿足條件的實數.     12分