Question

已知函數.
（1）當時，求函數在上的最大值；
（2）令，若在區間上不單調，求的取值范圍；
（3）當時，函數的圖象與軸交于兩點，且，又是的導函數.若正常數滿足條件.證明：.

Answer 1

（1）－1；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）根據利用導數求函數在閉區間上的最值的方法即可求得.
（2）首先將代入得，然后求導：.
在區間上不單調，那么方程在（0，3）上應有實數解，且不是重根即解兩側的導數值小于0.
將方程變形分離變量得：.下面就研究函數，易得函數在上單調遞增，所以，（）.結合圖象知，時，在（0，3）上有實數解.這些解會不會是重根呢？
由得：，若有重根，則或.這說明時，沒有重根. 由此得：.
（3）時，，所以.有兩個實根，則將兩根代入方程，可得.
再看看待證不等式：，這里面不僅有，還有，那么是否可以消去一些字母呢？
將兩式相減，得， 變形得：
, 將此式代入上面不等式即可消去，整理可得：
，再變形得：．下面就證這個不等式.這類不等式就很常見了，一般是將看作一個整體，令，又轉化為 ，只需證即可．而這利用導數很易得證.
試題解析：（1）  
函數在[,1]是增函數，在[1,2]是減函數，     3分
所以．                                     4分
（2）因為，所以，                  5分
因為在區間上不單調，所以在（0，3）上有實數解，且無重根，
由，有=，（）            6分
又當時，有重根；時，有重根.           7分
綜上                             8分
（3）∵，又有兩個實根，
∴，兩式相減，得，
∴,                                          10分
于是
．                            11分
．
要證：，只需證：
只需證：．(*)                                        12分
令，∴(*)化為 ，只證即可． 在（0，1）上單調遞增，，即．∴．  14分