Question

【題目】已知向量 =（sin（x+ ），1）， =（4，4cosx﹣ ）
（1）若 ⊥ ，求sin（x+ ）的值；
（2）設(shè)f（x）= ，若α∈[0， ]，f（α﹣ ）=2 ，求cosα的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ⊥ ，∴ =0，

∴ =4sin（x+ ）+4cosx﹣

=2 sinx+6cosx﹣

=4 sin（x+ ）﹣ =0，

∴sin（x+ ）= ，

∴sin（x+ ）=﹣sin（x+ ）=﹣ ，

（2）解：∵f（x）= =4 sin（x+ ）﹣ ，

∴f（α﹣ ）=4 sin（α+ ）﹣ =2 ，

∴sin（α+ ）= ，又α∈[0， ]，

∴α+ ∈[ ， ]，又 ＜ ＜ ，

∴α+ ∈[ ， ]，∴cos（α+ ）= ，

∴cosα=cos[（α+ ）﹣ ]= cos（α+ ）+ sin（α+ ）

= =

【解析】（1）由垂直可得數(shù)量積為0，可得sin（x+ ）= ，由誘導(dǎo)公式可得；（2）由已知化簡(jiǎn)可得sin（α+ ）的值，結(jié)合角的范圍和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cos（α+ ）的值，而cosα=cos[（α+ ）﹣ ]= cos（α+ ）+ sin（α+ ），代入化簡(jiǎn)可得．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系和兩角和與差的正弦公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證;即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直；兩角和與差的正弦公式：．