Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n．若對任意正整數n，總存在正整數m，使得S_n=a_m，則稱{a_n}是“H數列”．
（1）若數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ（n∈N^*），證明：{a_n}是“H數列”；
（2）設{a_n}是等差數列，其首項a₁=1，公差d＜0．若{a_n}是“H數列”，求d的值．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得an=

2，n=1 2n-1，n≥2

，由此能證明數列{a_n}是“H數列”．
（2）依題意，a_n=1+（n-1）d，Sn=n+

n(n-1)d

2

，若{a_n}是“H數列”，則1+（k-1）d=n+

n(n-1)d

2

，由此能求出d的值．

解答： （1）證明：當n=1時，a₁=S₁=2，（1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，（3分）
所以an=

2，n=1 2n-1，n≥2

，（4分）
所以對任意的n∈N^*，Sn=2n是數列{a_n}中的第n+1項，（5分）
因此數列{a_n}是“H數列”．
（2）解：依題意，a_n=1+（n-1）d，Sn=n+

n(n-1)d

2

，（7分）
若{a_n}是“H數列”，則對任意的n∈N^*，都存在k∈N^*使得a_k=S_n，
即1+（k-1）d=n+

n(n-1)d

2

，（9分）
所以k=

n-1

d

+

n(n-1)

2

，（10分）
又因為k∈N^*，

n(n-1)

2

∈N，
所以對任意的n∈N^*，

n-1

d

∈Z，且d＜0，（12分）
所以d=-1．（13分）

點評：本題考查數列{a_n}是“H數列”的證明，考查滿足條件的實數值的求法，是中檔題，解題時要注意公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的合理運用．