Question

【題目】已知函數 是奇函數，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函數．
（1）求a+b的值．
（2）若對任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求實數k的取值范圍．
（3）設 ，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由g（0）=0得a=1，則 ，經檢驗g（x）是奇函數．

由f（﹣1）=f（1）得 ，則 ，經檢驗f（x）是偶函數，

∴ ．

（2）解：∵ ，且g（x）在（﹣∞，+∞）單調遞增，且g（x）為奇函數．

∴由g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，得g（t2﹣2t）＞﹣g（2t2﹣k）=g（﹣2t2+k），

∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，t∈[0，+∞）恒成立，

即3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，

令F（x）=3t2﹣2t，在[0，+∞）上F（x）的最小值為 ，∴ ．

（3）解：h（x）=lg（10x+1），h（lg（10a+9））=lg[10lg（10a+9）+1]=lg（10a+10），

則由已知得，存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，

而g（x）在（﹣∞，1]單增，∴ ，

∴ ，∴ ．

又 ，

∵ ，∴ ，

∴ ．

【解析】（1）由條件利用函數的奇偶性的性質求得a、b的值，可得a+b的值．（2）由條件利用函數的單調性求得3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，求得3t2﹣2t的最小值，可得k的范圍．（3）由題意可得存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，求得g（x）的最大值，可得a的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數奇偶性的性質的理解，了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．