Question

已知a，b是不相等的兩個(gè)正數(shù)，在a，b之間插入兩組數(shù)：x₁，x₂，…，x_n和y₁，y₂，…，y_n，（ n∈N^*，且n≥2），使得a，x₁，x₂，…，x_n，b成等差數(shù)列，a，y₁，y₂，…，y_n，b成等比數(shù)列．老師給出下列五個(gè)式子：①

n

k=1

xk=

n(a+b)

2

；②

1

n

n

k=1

xk＞

ab

+(

a - b

2

)2；③

n	y1y2…yn

＜

ab

；④

n	y1y2…yn

=

ab

；⑤

n	y1y2…yn

＞

ab

．其中一定成立的是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和均值不等式可判斷①②正確，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷③④不正確，⑤正確．

解答：解：依題意可知，a，x₁，x₂，…，x_n，b成等差數(shù)列，則x₁+x₂+…+x_n=

(x1+xn)•n

2

∵x₁+x_n=a+b
∴

n

k=1

xk=

n(a+b)

2

成立，故①正確；
∴

1

n

n

k=1

xk=

a+b

2

＞

ab

+(

a - b

2

)2
∴②成立；
a，y₁，y₂，…，y_n，b成等比數(shù)列，則y₁•y_n=y₂•y_n-1=…=ab，

n	y1y2…yn

=

ab

，則④正確；
故③⑤不正確；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)和均值不等式的知識(shí)．考查綜合運(yùn)用能力．