Question

已知a、b是不相等的兩個正數，在a、b之間插入兩組數x₁，x₂，…x_n和y₁，y₂，…y_n（n∈N^﹢，且n≥2），使得a，x₁，x₂，…x_n，b成等差數列，a，y₁，y₂，…y_n，b成等比數列，則下列四個式子中，一定成立的是

①②

．（填上你認為正確的所有式子的序號）
①

n

k=i

xi=

n(a+b)

2

；②

1

n

n

k=i

xi=

a+b

2

＞

ab

+(

a - b

2

)2；③

n	y1y2…yn

=

ab

；④

n	y1y2…yn

＞

2ab

a+b

．

Answer 1

分析：先根據等差數列的性質和均值不等式可判斷①②正確，再由等比數列的性質可判斷③④不正確．

解答：解：依題意可知，a，x₁，x₂，…，x_n，b成等差數列，則x₁+x₂+…+x_n=

(x1+xn)•n

2

∵x₁+x_n=a+b
∴

n

k=1

xk=

n(a+b)

2

成立，故①正確；
∴

1

n

n

k=1

xk=

a+b

2

＞

ab

+(

a - b

2

)2
∴②成立
當a=y₁=y₂=…=y_n=b時，

n	y1y2…yn

=

ab

，當a，y₁，y₂，…，y_n，b不相等時，

n	y1y2…yn

＞

ab

，
故③④不正確；
故答案為：①②

點評：本題以數列為載體，考查數列與不等式的綜合，主要考查等差數列的性質、等比數列的性質和均值不等式的知識．考查綜合運用能力．