Question

在各項均為正數的數列{a_n}中，前n項和S_n滿足2S_n+1=a_n（2a_n+1），n∈N^*．
（1）證明{a_n}是等差數列，并求這個數列的通項公式及前n項和的公式；
（2）在平面直角坐標系xoy面上，設點M_n（x_n，y_n）滿足a_n=nx_n，S_n=n²y_n，且點M_n在直線l上，M_n中最高點為M_k，若稱直線l與x軸．直線x=a，x=b所圍成的圖形的面積為直線l在區間[a，b]上的面積，試求直線l在區間[x₃，x_k]上的面積；
（3）若存在圓心在直線l上的圓紙片能覆蓋住點列M_n中任何一個點，求該圓紙片最小面積．

Answer 1

分析：本題是解析幾何、數列、極限多知識點融合一體的綜合性題，重點考查數列中a_n和S_n的關系、等差數列的證明、求數列的通項公式、前n項和、直線方程的應用、極限的思想等；
（1）該小題較易，利用a_n=s_n-s_n-1就可以把已知條件轉化為關于a_n的遞推關系，進而得到{a_n}為等差數列，其通項公式、前n項和易得；
（2）根據題意可得點M_n（

1

2

+

1

2n

，

1

4

+

3

4n

），令x=

1

2

+

1

2n

，y=

1

4

+

3

4n

，消去n得關于x、y的方程，再根據y=

1

4

+

3

4n

是n的減函數可得M₁為M_n中的最高點，且M₁（1，1），又滿足條件的圖形為直角梯形，從而求得其面積；
（3）根據直線C：3x-2y-1=0上的點列M_n依次為M₁（1，1），M₂（

3

4

，

5

8

），M₃（

2

3

，

1

2

），…，M_n（

1

2

+

1

2n

，

1

4

+

3

4n

），可得其極限點M（

1

2

，

1

4

），從而|M₁M|，最小圓紙片的面積即得．

解答：解：（1）由已知得2S_n=2a_n²+a_n-1①
故2S_n+1=2a_n+1²+a_n+1-1②
②-①得2a_n+1=2a_n+1²-2a_n²+a_n+1-a_n
結合a_n＞0，得a_n+1-a_n=

1

2

∴{a_n}是等差數列
又n=1時，2a₁=a₁²+a₁-1，解得a₁=1或a₁=

1

2

∵a_n＞0，∴a₁=1
又d=

1

2

，故a_n=1+

1

2

（n-1）=

1

2

n+

1

2

∴S_n=n+

1

2

•

n(n-1)

2

=

1

4

n²+

3

4

n；
（2）∵a_n=nx_n，S_n=n²y_n
∴x_n=

an

n

=

1

2

+

1

2n

，y_n=

sn

n2

=

1

4

+

3

4n

即得點M_n（

1

2

+

1

2n

，

1

4

+

3

4n

）
設x=

1

2

+

1

2n

，y=

1

4

+

3

4n

，
消去n，得3x-2y-1=0，
即直線C的方程為3x-2y-1=0
又y=

1

4

+

3

4n

是n的減函數
∴M₁為M_n中的最高點，且M₁（1，1）
又M₃的坐標為（

2

3

，

1

2

）
∴C與x軸．直線x=

2

3

，x=1圍成的圖形為直角梯形
從而直線C在[

2

3

，1]上的面積為
S=

1

2

×（

1

2

+1）×（1-

2

3

）=

1

4

；（9分）
（3）由于直線C：3x-2y-1=0上的點列M_n依次為
M₁（1，1），M₂（

3

4

，

5

8

），M₃（

2

3

，

1

2

），
M_n（

1

2

+

1

2n

，

1

4

+

3

4n

），
而

lim

n→∞

（

1

2

+

1

2n

）=

1

2

，

lim

n→∞

（

1

4

+

3

4n

）=

1

4

因此，點列M_n沿直線C無限接近于極限點M（

1

2

，

1

4

）
又

1

2

|M₁M|=

1

2

(1- 1 2 )2+(1- 1 4 )2

=

13

8

所以最小圓紙片的面積為

13π

64

．

點評：本題題型大，覆蓋面廣，應用知識豐富，是一個難度大的題目；要正確的解好本題，不僅具備全面的知識方法，還需要一定的耐力，有時解題的意志力也是決定題目是否解出的重要因素，本題的解答就是一個很好的例證；所以解題過程中，不僅積累知識和方法，還是培養人的耐心的方式，是對人的心理因素的考驗．