Question

如圖，四邊形與均為菱形，，且．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：∥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：設與相交于點，連結．
因為 四邊形為菱形，所以，
且為中點．               ………………1分
又 ，所以． ………3分
因為，
所以 平面． ………………4分   
（Ⅱ）證明：因為四邊形與均為菱形，
所以//，//，
所以 平面//平面．                ………………7分                                        又平面，
所以// 平面．                   ……………8分                        
（Ⅲ）解：因為四邊形為菱形，且，所以△為等邊三角形．
因為為中點，所以，故平面．
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系．………………9分                                   
設．因為四邊形為菱形，，則，所以，
．
所以．          
所以，．              
設平面的法向量為，則有
所以  取，得．………………12分           
易知平面的法向量為．     ………………13分               
由二面角是銳角，得 ．      
所以二面角的余弦值為．      ……………14分

略