Question

【題目】已知曲線 在 的上方，且曲線 上的任意一點到點 的距離比到直線 的距離都小1.
（Ⅰ）求曲線 的方程；
（Ⅱ）設 ，過點 的直線與曲線 相交于 兩點.
①若 是等邊三角形，求實數 的值；
②若 ，求實數 的取值范圍.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點 曲線 上任意一點，由題設有 ，

于是 ，整理得 .

由于曲線 在 軸的上方，所以 .

所以曲線 的方程為 .

（Ⅱ）設 .

由題意 ，即 ，

于是 ，

將 代入，得 ，由 ，得 .

從而 x1=-x2，

所以 .

因為 是等邊三角形，所以 .

將 代入， ，解得 ，此時 .

設直線 ，

聯立 得 ， ，

.

，

于是

因為 ，即 .

因 ，從而 .

解得 ..

【解析】(1)根據題意設出點P的坐標由拋物線的定義可得出等式求出曲線的方程即可。(2)由已知分別設出A、B兩點的坐標利用已知 | A F | = | B F | ，把兩點分別代入到拋物線的方程整理即到x1=-x2,借助三角形是等邊三角形求出m的值，然后設出直線的方程聯立直線與拋物線的方程由韋達定理分別求出x1+x2、x1x2關于m的代數式，進而可用坐標表示出，令其小于零解出m的取值范圍即可。