Question

【題目】已知函數(shù) .
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù) 有兩個零點 ,證明 .

Answer 1

【答案】
（1）解： , 當(dāng) 時, ;當(dāng) 時, ,所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.
（2）解： ,不妨設(shè) ，又由（1）可知 ，又函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，所以 等價于 ，即 .又 ，而 ，所以 ,設(shè) ，則 ，當(dāng) 時， ，而 ，故當(dāng) 時， .所以而 恒成立，所以當(dāng) 時, ,故 .

【解析】(1)根據(jù)題意首先求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，借助導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求出原函數(shù)的極值點，并判斷導(dǎo)函數(shù)的正負進而得到原函數(shù)的單調(diào)性。(2)由已知利用函數(shù) f ( x ) 在 ( ∞ , 1 ) 上單調(diào)遞減得出x 1 > 2 x 2 ,可轉(zhuǎn)化為 0 = f ( x 1 ) < f ( 2 x 2 ）求出 f ( 2 x 2 ）的解析式，構(gòu)造函數(shù)g ( x )再利用形式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負進而得出g ( x )的最值，然后轉(zhuǎn)化該式求解即可。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．