Question

某地有A、B、C、D四人先后感染了一種病毒，已知A是第一個感染者，B肯定是受A感染的，對于C，因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是

1

2

，同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是

1

3

在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X、直接受B感染的人數(shù)Y、直接受C感染的人數(shù)Z是三個隨機(jī)變量．
（1）分別寫出X、Y、Z的分布列；
（2）求EX+EY+EZ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）因?yàn)橹苯邮蹵感染的人至少是B，而C、D二人也有可能是由A感染的，所以X=1，2，3設(shè)B、C、D直接受A感染為事件B、C、D，則B、C、D是相互獨(dú)立的，并且P（B）=1，P（C）=

1

2

，P（D）=

1

3

，由此能求出X、Y、Z的分布列．
（2）由X、Y、Z的分布列，能求出EX+EY+EZ的值．

解答： 解：（1）因?yàn)橹苯邮蹵感染的人至少是B，而C、D二人也有可能是由A感染的，
所以X=1，2，3
設(shè)B、C、D直接受A感染為事件B、C、D，
則B、C、D是相互獨(dú)立的，
并且P（B）=1，P（C）=

1

2

，P（D）=

1

3

，
X=1，表明除了B外，C、D都不是由A感染的，
∴P（X=1）=P（

.

CD

）=P（

.

C

）P（

.

D

）=

1

2

×

2

3

=

1

3

，（2分）
X=2，表明除了B外，C、D二人中恰有1人是由A感染的，
∴P（X=2）=P（C

.

D

+

.

C

D）=P（C）=P（

.

D

）+P（

.

C

）P（D）=

1

2

×

2

3

+

1

2

×

1

3

=

1

2

，（4分）
X=3，表明B、C、D都是由A感染的，
∴P（X=3）=P（CD）=P（C）P（D）=

1

2

×

1

3

=

1

6

，（5分）
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	1 3	1 2	1 6

…（6分）
同理，Y的分布列為：

Y	1	2	3
P	1 3	1 2	1 6

…（8分）
Z的分布列為：

Z	0	1
P	2 3	1 3

…（10分）
（2）EX=1×

1

3

+2×

1

2

+3×

1

6

=

11

6

，（11分）
EY=0×

1

3

+1×

1

2

+2×

1

6

=

5

6

，
EZ=0×

2

3

+1×

1

3

=

1

3

，
∴EX+EY+EZ=

11

6

+

5

6

+

1

3

=3．（12分）

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題．