Question

已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的參數方程為

x=4cosθ y=3sinθ

（θ為參數），直線l的極坐標方程為ρsin（θ-

π

4

）=4

2

．點P在曲線C上，則點P到直線l的距離的最小值為

 

．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：曲線C的參數方程為

x=4cosθ y=3sinθ

（θ為參數），化為

x2

16

+

y2

9

=1，直線l的極坐標方程為ρsin（θ-

π

4

）=4

2

，化為y-x=8．設與直線y-x=8平行且與橢圓相切的直線為y-x=m．與橢圓方程聯立可得25x²+32mx+16m²-144=0，利用△=0，解出m，再利用平行線之間的距離公式即可得出．

解答： 解：曲線C的參數方程為

x=4cosθ y=3sinθ

（θ為參數），化為

x2

16

+

y2

9

=1，
直線l的極坐標方程為ρsin（θ-

π

4

）=4

2

，展開為

2

2

(ρsinθ-ρcosθ)=4

2

，化為y-x=8．
設與直線y-x=8平行且與橢圓相切的直線為y-x=m．
聯立

y-x=m x2 16 + y2 9 =1

，化為25x²+32mx+16m²-144=0，
∵△=（32m）²-4×25×（16m²-144）=0，
化為m²=25，
解得m=±5．
取m=5，則切線為y=x+5．
其距離d=

|8-5|

2

=

3 2

2

．
∴點P到直線l的距離的最小值為

3 2

2

．
故答案為：

3 2

2

．

點評：本題考查了參數方程與極坐標方程化為直角坐標方程、平行線之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．