Question

已知函數．
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）若函數在處取得極值，對，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當時，求證：．

Answer 1

（1）在上遞減，在上遞增；（2）；（3）證明詳見解析．

試題分析：（1）先求函數的導函數，然后分別求解不等式、，即可求出函數的單調增、減區間，注意函數的定義域；（2）先根據函數在取得極值，得到，進而求出的值，進而采用分離參數法得到，該不等式恒成立，進一步轉化為，利用導數與最值的關系求出函數的最小值即可；（3）先將要證明的問題進行等價轉化，進而構造函數，轉化為證明該函數在單調遞增，根據函數的單調性與導數的關系進行證明即可．
試題解析：（1）當時，
得，得
∴在上遞減，在上遞增
（2）∵函數在處取得極值，∴
∴
令，可得在上遞減，在上遞增
∴，即 
（3）證明：
令，則只要證明在上單調遞增
又∵
顯然函數在上單調遞增
∴，即
∴在上單調遞增，即
∴當時，有．