【題目】如圖2，在三棱錐A-BCD中，AB=CD=4, AC=BC=AD=BD=3.
(I)證明:AB
CD;
(II) E在線段BC上，BE=2EC, F是線段AC的中點，求平面ADE與平面BFD所成銳二面角的余弦值
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）
【解析】試題分析：（Ⅰ）取
中點
，連接
， 
，易證
， 
，進而得
，從而得證；
（Ⅱ）過
作
交
的延長線于點
， 
，由（Ⅰ）得
，所以AP⊥平面BDC，以
為原點， 
為
軸， 
為
軸，過
作
的平行線為
軸，建立空間直角坐標系，分別求得面
和面
的法向量，進而利用向量求解即可.
試題解析：
（Ⅰ）
證明：如圖2，取
中點
，連接
， 
，
，
， 
， 
，
， 
，
．
（Ⅱ）解：過
作
交
的延長線于點
， 
，由（Ⅰ）得
，所以AP⊥平面BDC，以
為原點， 
為
軸， 
為
軸，過
作
的平行線為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，
設平面
的法向量為
，
解得
，
設平面
的法向量為
，
解得
，
設平面ADE與平面BFD所成的二面角為
，
則
．
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
為圓
的圓心， 
是圓上的動點，點
在圓的半徑
上，且有點
和
上的點
，滿足
， 
.
（1）當點
在圓上運動時，求點
的軌跡方程；
（2）若斜率為
的直線
與圓
相切，直線
與（1）中所求點
的軌跡交于不同的兩點
， 
， 
是坐標原點，且
時，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
(其中
為參數)，曲線
.以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線、
的極坐標方程；
(2)射線
與曲線、分別交于點
(且均異于原點)當
時，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的參數方程為
（
為參數）.以平面直角坐標系
的原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，設直線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線
和直線
的普通方程；
（2）設
為曲線
上任意一點，求點
到直線
的距離的最值.
【答案】（1）
， 
；（2）最大值為
，最小值為
【解析】試題分析：（1）根據參數方程和極坐標化普通方程化法即易得結論
的普通方程為
；直線
的普通方程為
.（2）求點到線距離問題可借助參數方程，利用三角函數最值法求解即可故設
， 
.即可得出最值
解析：（1）根據題意，由
，得
， 
，
由
，得
，
故
的普通方程為
；
由
及
， 
得
，
故直線
的普通方程為
.
（2）由于
為曲線
上任意一點，設
，
由點到直線的距離公式得，點
到直線
的距離為
.
∵
，
∴
，即
，
故點
到直線
的距離的最大值為
，最小值為
.
點睛：首先要熟悉參數方程和極坐標方程化普通方程的方法，第一問基本屬于送分題所以務必抓住，對于第二問可以總結為一類題型，借助參數方程設點的方便轉化為三角函數最值問題求解
【題型】解答題
【結束】
23
【題目】已知函數
，
.
（1）解關于
的不等式
；
（2）若函數
的圖象恒在函數
圖象的上方，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知點
，
，動點
不在
軸上，直線
、
的斜率之積
．
（Ⅰ）求動點
的軌跡方程；
（Ⅱ）經過點
的兩直線與動點的軌跡分別相交于
、
兩點。是否存在常數
，使得任意滿足
的直線
恒過線段
的中點？請說明理由．
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