Question

【題目】如圖所示，四棱錐中，底面為菱形， ， ， 為棱的中點，且.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）當直線與底面成角時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）二面角的余弦值為.

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 先證，得到，根據可得，從而可得，于是平面．（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面平面的法向量，然后求出兩向量夾角的余弦值，從而可得二面角的余弦值．

試題解析：

(Ⅰ)取的中點，連，

，

為等邊三角形，

，

又， ，

，

又，

，又

，又

，

又，

平面.

(Ⅱ)由(Ⅰ) 知， ，以分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設菱形的邊長為2，則， ，

因為直線與底面成角，即，

，

，

，

設為平面的一個法向量，

由，令，則．

設為平面的一個法向量，

由，令，則 ，

，

由題可知二面角的平面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為.