Question

（本小題滿分13分）已知點(diǎn)，直線：，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）已知點(diǎn)A(m,2)在曲線C上,過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD,AE,且AD,AE的斜率k₁、k₂滿足，試推斷：動(dòng)直線DE是否過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論。

Answer 1

（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程 （2）直線DE過定點(diǎn)(-1,-2)

（1）設(shè)，則，∵，
∴． ，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程．                        ………５分
（2）將A(m,2)代入得m="1," ∴A(1,2)     …………………………６分
法一: ∵兩點(diǎn)不可能關(guān)于x軸對(duì)稱，∴DE不斜率必存在
設(shè)直線DE的方程為
由得
∴………………………８分
∵且
∴ …………………９分
將代入化簡(jiǎn)得
…………………………………10分
將b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k(x+1)-2,過定點(diǎn)(-1,-2)…………11分
將b=2-k代入y=kx+b
得y=kx+2-k=k(x-1)+2,過定點(diǎn)(1,2)即為A點(diǎn)，舍去
∴直線DE過定點(diǎn)（-1，-2） …………………………………………13分
法二：設(shè)，(5分)則     ……７分
同理,由已知得
  …………9分
設(shè)直線DE的方程為x=ty+n代入
得     …………10分
∴,直線DE的方程為  …12分
即直線DE過定點(diǎn)(-1,-2)       ………13分