Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E為AB的中點．

（Ⅰ）求證：AN∥平面MEC；

（Ⅱ）在線段AM上是否存在點P，使二面角P﹣EC﹣D的大小為 ？若存在，求出AP的長h；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意證得AN∥EF，結合線面平行的判斷定理可得AN∥平面MEC；

(2)建立空間直角坐標系可得，存在點P滿足題意，其中 .

試題解析：

（I）CM與BN交于F，連接EF．

由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形，所以F是BN的中點．

因為E是AB的中點，所以AN∥EF．

又EF平面MEC，AN平面MEC，所以AN∥平面MEC．

（II）由于四邊形ABCD是菱形，E是AB的中點，可得DE⊥AB．

又四邊形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，

∴DN⊥面ABCD，

如圖建立空間直角坐標系D﹣xyz，

則D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），

=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），

設平面PEC的法向量為=（x，y，z）．

則，∴，令y=h，∴=（2h， h，），

又平面ADE的法向量=（0，0，1），

∴cos＜，＞===，解得h=，

∴在線段AM上是否存在點P，當h=時使二面角P﹣EC﹣D的大小為．