Question

【題目】已知曲線：（為參數）和曲線:(為參數).

（1）化，的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（2）若上的點對應的參數為，為上的動點，求中點到直線：（為參數）距離的最小值及此時點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）距離最小值為，點坐標為.

【解析】

(1)消去參數和參數即可確定曲線的普通方程，然后由方程確定其表示曲線的形狀和位置即可；

（2）由題意可得，結合中點坐標公式可設. 利用點到直線距離公式和三角函數的性質確定距離的最小值及點的坐標即可.

（1）分別消去曲線和中的參數，

可得到：，：.

是圓心為，半徑為的圓.

是中心為坐標原點，焦點在軸上，長半軸長是，短半軸長是的橢圓.

（2）當時，，

設，故.

為直線，

到的距離，

從而當,即，，取最小值.

所以，此時點的坐標為.