Question

（滿分14分）設(shè)函數(shù)
（1）設(shè)曲線在點(diǎn)（1，）處的切線與x軸平行．
① 求的最值；
② 若數(shù)列滿足（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，
求證： ．
（2）設(shè)方程的實(shí)根為．
求證：對(duì)任意，存在使成立．

Answer 1

解：（1）①的最小值為。無(wú)最大值；②見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。求解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用，以及不等式的證明的綜合問(wèn)題
（1）第一問(wèn)利用已知條件得打參數(shù)m的值，然后求解導(dǎo)數(shù)。判定其單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到最值和放縮法得到不等式的證明
（2）第二問(wèn)中運(yùn)用函數(shù)與方程思想，來(lái)分析方程的解的問(wèn)題。并構(gòu)造函數(shù)來(lái)證明不等式 成立。
解：（1）由已知，
①。當(dāng)時(shí)
當(dāng)時(shí)。則在（0,1）上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。的最小值為。無(wú)最大值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇
②（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）

即且

即
則。又
即
則故不等式成立。．．．．．．．．．．．９＇
（2）設(shè)故在上遞增。
又
所以方程即在上有唯一根且而不等式

不妨設(shè)

設(shè)

設(shè)集合
即存在成立。
那么不等式也成立
故對(duì)任意使得成立．．．14＇