Question

【題目】設，.

（1）令，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，證明.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出的導數(shù)，，分討論，分別由求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）只要證明即可，由（1）知，，證明在即可.

試題解析：（1）由,.

可得.

當時, 時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

所以，當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）只要證明對任意，.

由（1）知，在取得最大值，

且.

令，，

則在上單調(diào)遞增，.

所以當時，即.

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值、利用導數(shù)證明不等式，屬于難題．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點處函數(shù)值的大小）.