Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知矩形的長為2，寬為1，.邊分別在軸.軸的正半軸上，點與坐標原點重合（如圖所示）。將矩形折疊，使點落在線段上。

（1）若折痕所在直線的斜率為，試求折痕所在直線的方程；

（2）當時，求折痕長的最大值；

（3）當時，折痕為線段，設，試求的最大值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

(1)對k=0,分類討論，將矩形折疊后點落在線段上的點記為，先求G的坐標，再求折痕所在的直線與的交點坐標，寫出直線的點斜式方程.(2) 先求出折痕直線交于點，交軸于，再求的最大值，即得折痕長的最大值.(3)先求得，再求t的表達式和其最大值.

(1) ①當時,此時點與點重合, 折痕所在的直線方程

②當時，將矩形折疊后點落在線段上的點記為，

所以與關于折痕所在的直線對稱，

有

故點坐標為，

從而折痕所在的直線與的交點坐標（線段的中點）為

折痕所在的直線方程，即

由①②得折痕所在的直線方程為：

（2）當時，折痕的長為2;

當時，折痕直線交于點，交軸于

∵

∴折痕長度的最大值為。

而 ,故折痕長度的最大值為

（3）當時，折痕直線交于，交軸于

∵ ∴

∵ ∴（當且僅當時取“=”號）

∴當時，取最大值，的最大值是。