Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知A、B、C是橢圓上不同的三點， ，C在第三象限，線段BC的中點在直線OA上。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求點C的坐標；

（3）設動點P在橢圓上（異于點A、B、C）且直線PB， PC分別交直線OA于M、N兩點，證明為定值并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）點的坐標為．（3）為定值，定值為．

【解析】試題分析：（1）將點A，B的坐標代入方程即可求得，（2）設點，得BC的中點坐標，帶去直線OA聯立橢圓方程即可求得m,n,從而得C的坐標，（3）分別設出P,N,M三點坐標，根據P,B,M三點共線和P,C,N三點共線得到M，N,P的關系，將P點坐標代入橢圓方程即可得各系數之間的關系，于是化簡得定制

試題解析：

解：（1）由已知，得 解得

所以橢圓的標準方程為．

（2）設點 ，則中點為．

由已知，求得直線的方程為，從而．①

又∵點在橢圓上，∴．②

由①②，解得（舍），，從而． 所以點的坐標為．

（3）設， ， ．

∵三點共線，∴，整理，得．

∵三點共線，∴，整理，得．

∵點在橢圓上，∴， ．

從而．

所以．∴為定值，定值為．