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【題目】已知橢圓的離心率為，，為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，的面積的最大值為1，、為橢圓上任意兩個關于軸對稱的點，直線與軸的交點為，直線交橢圓于另一點.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)求證：直線過定點.

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由離心率及的面積的最大值為1，即可求得，，從而求得橢圓的標準方程；（2）設，，且，由題意得且直線的斜率必存在，設：，與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理，得，即可表示直線：，根據對稱性可知直線過的定點必在軸上，從而求出定點坐標.

試題解析：（1）∵當M為橢圓C的短軸端點時，的面積的最大值為1

∴

∵，

∴

∴橢圓C標準方程為：

（2）設，且，

∵

∴

由題意知的斜率必存在，設：，代入得，由得，.

∵

∴斜率必存在，：

由對稱性易知直線過的定點必在軸上，則當時，得，即在的條件下，直線AE過定點（1，0）.

練習冊系列答案

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（Ⅱ）記拋物線的準線與軸交于點，試問是否存在常數，使得且都成立？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.

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（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線經過點且與交于不同的兩點、，試問：在軸上是否存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值？若存在，請求出點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

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（1）證明：；

（2）設為線段上的動點，若線段長的最小值為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）證明線線垂直則需證明線面垂直，根據題意易得，然后根據等邊三角形的性質可得，又，因此得平面，從而得證（2）先找到EH什么時候最短，顯然當線段長的最小時，，在中，，，，∴，由中，，，∴.然后建立空間直角坐標系，寫出兩個面法向量再根據向量的夾角公式即可得余弦值

解析：（1）證明：∵四邊形為菱形，，

∴為正三角形.又為的中點，∴.

又，因此.

∵平面，平面，∴.

而平面，平面且，

∴平面.又平面，∴.

（2）如圖，為上任意一點，連接， .

當線段長的最小時，，由（1）知，

∴平面，平面，故.

在中，，，，

∴，

由中，，，∴.

由（1）知，，兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又，分別是，的中點，

可得，，，，

，，，

所以， .

設平面的一法向量為，

則因此，

取，則，

因為，，，所以平面，

故為平面的一法向量.又，

所以 .

易得二面角為銳角，故所求二面角的余弦值為.

【題型】解答題
【結束】
20

【題目】【2018湖北七市（州）教研協作體3月高三聯考】已知橢圓：的左頂點為，上頂點為，直線與直線垂直，垂足為點，且點是線段的中點．

（I）求橢圓的方程；

（II）如圖，若直線：與橢圓交于，兩點，點在橢圓上，且四邊形為平行四邊形，求證：四邊形的面積為定值．

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（1）求橢圓的方程；

（2）動直線：（，）交橢圓于、兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過點.若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

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