Question

已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：在定義域D內存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+1成立．
（1）函數f（x）=x²是否屬于集合M？說明理由；
（2）函數f（x）=

1

x

是否屬于集合M？說明理由；
（3）若對于任意實數a，函數f(x)=

b

x+a

均屬于集合M，試求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若f（x）=x²屬于集合M，則方程（x+1）²=x²+1有根，解二次方程如果該方程有根，則數f（x）=x²屬于集合M．
（2）若f（x）=

1

x

屬于集合M，則方程

1

x+1

=

1

x

+1有根，解二次方程如果該方程有非零根，則數f（x）=

1

x

屬于集合M．
（3）若b=0時，f（x）=0（x≠-a）顯然不屬于集合M．若當b≠0時，D=（-∞，-a）∪（-a，+∞），由對于任意實數a，函數f(x)=

b

x+a

均屬于集合M，故

b

x0+a+1

=

b

x 0+a

+1一定有解，根據△≥0，我們構造出一個關于b的不等式，解不等式即可得到實數b的取值范圍．

解答：解：（1）D=R，若f（x）=x²屬于集合M，
則存在實數x₀，使得（x₀+1）²=x₀²+1，解得x₀=0，因為此方程有實數解，
所以函數f（x）=x²屬于集合M．（5分）
（2）D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=

1

x

∈M，則存在非零實數x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，即x₀²+x₀+1=0，
因為此方程無實數解，所以函數f（x）=

1

x

∉M．（5分）
（3）當b≠0時，D=（-∞，-a）∪（-a，+∞），
由f(x)=

b

x+a

，存在實數x₀，使得

b

x0+a+1

=

b

x 0+a

+1，
即x₀²+（2a+1）x₀+a²+a+b=0（x₀≠-a，-a-1）對于任意實數a均有解，
所以△≥0恒成立，解得b≤

1

4

，有b∈(-∞，0)∪(0，

1

4

]，（15分）
當b=0時，f（x）=0（x≠-a）顯然不屬于集合M．
所以，實數b的取值范圍是(-∞，0)∪(0，

1

4

]．（18分）

點評：本題考查的知識點是元素與集合的關系的判斷，要想判斷一個元素x是否屬于集合M，僅需要判斷x是否滿足M的性質即可．